Fondements algébriques : Droites et ensembles affines
Pour naviguer dans un paysage d'optimisation multidimensionnel, nous devons définir comment se déplacer entre deux points $x_1$ et $x_2$. Une droite mathématique est l'ensemble de tous les points $y$ satisfaisant :
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
De manière équivalente, on peut considérer cela comme partant de $x_2$ et se déplaçant dans la direction $(x_1 - x_2)$, mise à l'échelle par $\theta$ : $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$. Lorsque $\theta$ parcourt tous les nombres réels $\mathbb{R}$, nous générons un ensemble affine. Une propriété essentielle à retenir : Toute droite est affine. Si elle passe par zéro, c'est un sous-espace, donc aussi un cône convexe.
Un segment de droite est la restriction où $0 \le \theta \le 1$. Contrairement à la droite infinie, un segment de droite est convexe, mais pas affine (sauf s'il se réduit à un point). Il représente l'ensemble de toutes les « moyennes pondérées » ou mélanges entre deux extrémités.
Un rayon, qui a la forme $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$, où $v \neq 0$, est également convexe, mais pas affine. Les rayons sont les éléments fondamentaux des cônes en théorie de l'optimisation.
Le test de convexité
Nous définissons un ensemble $C$ comme convexe si le segment de droite reliant n'importe quels deux points de l'ensemble est entièrement contenu dans l'ensemble. Ce critère simple — l'inclusion du « pont » — est ce qui rend les problèmes d'optimisation abordables ou insolubles.
Exemple : Optimisation de portefeuille
En finance, supposons que $x_1$ représente un portefeuille à 100 % d'actions et $x_2$ à 100 % d'obligations. Le segment de droite représente tous les mélanges pondérés possibles. Par exemple, un ratio 60/40 correspond à $\theta = 0.6$. Si l'ensemble des « portefeuilles autorisés » est convexe, alors tout mélange de deux portefeuilles valides est garanti valide — une propriété qui simplifie considérablement l'évaluation des risques.